автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.03, диссертация на тему:Аэроупругий расчет и балансировка одновинтового вертолета с бесшарнирным несущим винтом

На правах рукописи

ГИРФАНОВ АЗАТ МАРСЕЛОВИЧ

Г Г и од

2 1 АЛР 2303

УДК 629.735.45.05

АЭРОУПРУГИЙ РАСЧЕТ И БАЛАНСИРОВКА ОДНОВИНТОВОГО ВЕРТОЛЕТА С БЕСШАРНИРНЫМ НЕСУЩИМ ВИНТОМ

Специальность: 05.07.03 - Прочность летательных аппаратов

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Казань 1999

Работа выполнена на кафедре «Строительная механика летательных аппаратов» в Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Доктор технических наук, профессор С.А. Михайлов.

доктор технических наук, Лисс Арон Юдович, ОАО КНПП «Вертолеты Ми»

кандидат технических наук Носов Александр Александрович, КГТУ им. А.Н.Туполева

Ведущая организация:

ОАО «КВЗ»

Защита состоится «

»

года

на

заседании дисертационного совета _

Казанского государственного технического университета им. А.Н.Туполева (420111 г.Казань, ул. К. Маркса 10) С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета. Автореферат разослан «_»_2000г.

Ученый секретарь дисертационного совета кандидат технических наук '

С.П. Кузнецов.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Выполнение задач сегодняшнего дня требует от вертолета повышения его потребительских качеств, уменьшения уровня шума, повышения маневренности и, самое главное, удешевления стоимости его эксплуатации. Это возможно при условии совершенствования несушей системы вертолета совместно с широким применением композиционных материалов, увеличивающих ресурс агрегатов. Поэтому в последние десятилетия на новых перспективных вертолетах все чаще стали применяться так называемые «бесшарнирные» несущие винты, роль шарниров в которых выполняют спецшшьные упругие элементы. Такие винты имеют больший ресурс по сравнению с обычными несущими винтами с горизонтальным и вертикальным шарнирами. Это удешевляет эксплуатацию вертолета, но при этом возрастают начальные затраты на проектирование и изготовление.

Практически все серийно выпускаемые в мире вертолеты с классическим несущим винтом имеют небольшой разнос горизонтальных шарниров. Такая конструктивная схема вполне соответствовала требованиям своего времени. Соответственно характеристикам шарнирного несущего винта и доступным в то время вычислительным ресурсам были разработаны методы решения задачи балансировки вертолета. Они используются по сей день и стали традиционными. Эти подходы к решению задачи балансировки сводятся к линеаризации зависимости аэродинамической нагрузки, действующей на агрегаты вертолета в полете. Линейный подход к решению задачи балансировки был вполне оправдан, так как колебания лопастей несущего винта классической шарнирной схемы в большей степени определяются взмахом лопасти относительно горизонтального шарнира. С целью упрощения и по аналогии с самолетом было принято разделение балансировки на продольную и поперечную. Учет упругости лопастей вводился только для уточнения нагружения несущей системы вертолета в прочностных расчетах на ресурс.

Проблема решения задачи балансировки вертолета сравнительно слабо отражена в открытой печати. Помимо работ опубликованных в открытой печати, в промышленности были разработаны методики расчета без традиционного разделения на продольную и поперечную балансировку, учитывающие конструктивные особенности несущих винтов с шарнирным креплением лопастей (наличие демпферов вертикальных шарниров, деформации лопастей и т.д.). Здесь следует отметить диссертацию А.Ю.Лисса, защищенную в 1974 году, где разработан метод корректировки балансировочных характеристик с учетом упругости лопастей.

В современных прогрессивных конструкциях бесшарнирного несущего винта доля упругих деформаций существенно повышается. С появлением таких конструкций несущей системы допущения, принятые для шарнирного винта, неоправданны. Требуются новые подходы к решению задачи балансировки, аэроупругих колебаний лопастей и, соответственно, в прогнозировании нагрузок, действующих на агрегаты несущей системы вертолета. Точность прогнозирования нагружения и, соответственно, более точная оценка ресурса несущей системы вертолета с бесшарнирным несущим винтом, является на сегодняшний день одной из ключевых задач вертолетостроения.

Цель работы. Разработка комплексной математической модели аэроупругого расчета и пространственной балансировки вертолета, эффективность которой определяется следующими требованиями:

возможность проведения расчетов по современным теоретическим моделям, не упрощая их;

хорошая сходимость результатов;

устойчивость методики - это безусловное получение результатов на любом реально возможном режиме полета;

возможность расчета в режиме реального времени с распараллеливанием вычислительного процесса.

Развитие компьютерной техники за последнее десятилетие привело практически к физическому пределу производительности компьютеров основанных на технологиях сегодняшнего дня. Поэтому развитие компьютерных технологий перешло из качественных изменений в количественные. Пример тому широко распространившиеся компьютерные сети, служащие не только средством обмена информацией, но средством интеграции мощностей электронно-вычислительных машин для решения единой задачи. Применение сетевых технологий позволяет проводить расчеты сложных задач в режиме реального времени. Но для этого необходимо, чтобы методика решения задачи предусматривала распараллеливание вычислительного процесса, то есть позволяла одновременно решать разные части одной и той же задачи.

Научная новизна. В данной работе предлагается комплексная математическая модель аэроупругого расчета и пространственной балансировки одновинтового вертолета. Моделирование упругих характеристик лопасти в пространстве проводится при помощи геометрически нелинейной теории пространственно-деформированных стержневых конструкций крыльевого профиля. Для приведения разрешающей системы к матричной алгебраической форме применяются интегрирующие матрицы на основе интерполяции «напряженными» сплайнами (сплайна с растяжением). Интегрирование уравнений движения лопастей несущего винта на установившихся режимах полета вертолета по времени проводится с применением методики, основанной на использовании разложения изгибных и крутильных колебаний лопасти в тригонометрический ряд Фурье. Главная особенность и преимущество рассматриваемой методики состоит в наперед известной зависимости между прогибами, скоростями и ускорениями расчетных точек на лопасти. Эта

особенность позволяет принципиально изменить путь поиска решения по азимуту и избавиться от итераций, связанных с нахождением скоростей и ускорений. Это позволяет на квазистационарных режимах полета существенно сократить время получения аэроупругих характеристик винта и соответственно нагружения несущей системы вертолета в целом, не снижая при этом точности расчета.

В диссертации выносятся на защиту следующие основные положения:

1) комплексная математическая модель аэроупругого расчета и пространственной балансировки одновинтового вертолета с бесшарнирным несущим винтом;

2) методика численного интегрирования уравнений движения лопасти по времени на основе разложения деформаций лопасти в тригонометрический ряд Фурье;

3) применение геометрически нелинейной теории пространственно-деформируемых стержней крыльевого профиля в задаче балансировки вертолета.

Практическая ценность. Математическая модель аэроупругого расчета несущего винта и пространственной балансировки вертолета с бесшарнирным несущим винтом позволяет обеспечить определение балансировочных и упругих характеристик для вертолетов с бесшарнирным несущим и рулевым винтами.

Апробация работы. Основные разделы диссертационной работы докладывались на всероссийских Туполевских чтениях «Актуальные проблемы авиастроения» (Казань, КГТУ им. А.Н.Туполева, 1996г.), на II Республиканской научно-технической конференции молодых ученых и специалистов (Казань 1997г.), на Всероссийской конференции «Самолетостроение России проблемы и перспективы» г.Самара 1998 г, на IV Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы

механики конструкций и сплошных сред» г.Казань 1998г, на Третьем форуме Российского вертолетного общества г.Москва 1998г, и на 25-ом Европейском международном вертолетном форуме Рим-Италия 1999.

Объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, выводов, списка использованной литературы и содержит 117 страниц машинописного текста.

Во введении показана актуальность данной работы, дается краткий обзор литературы, посвященной данной проблеме, рассматриваются основные проблемы и способы решения задач аэроупругих колебаний лопасти и балансировки одновинтового вертолета.

В первой главе предложена пространственная модель решения задачи аэроупругой балансировки одновинтового вертолета. Описаны уравнения равновесия вертолета и аэродинамических нагрузок, действующих на агрегаты вертолета. Показаны особенности и преимущества пространственной .модели от традиционного пути решения задачи балансировки с разделением на продольную и поперечную.

Для решения задачи балансировки вертолета применяются уравнения движения вертолета следующего вида:

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

(1)

где О = 1рх,Оу,(тг} - сила тяжести (приложена в центре масс вертолета);

- ускорение центра масс вертолета в связанной системе

координат; со = {вг,сЬ>,,ыг} , - угловое ускорение относительно центра масс вертолета; ш = {ш^ю ,сог} - угловая скорость вертолета, .7 = {/г,./,,./г} -составляющие тензора инерции вертолета; Л = ,

М = {\{х,Му,М2} - главный вектор и главный момент аэродинамических сил; -

кх =н + хл, + я р„, ну = г + г„ + , /г, = Л'+гю + т„,

Му = Мунв+ Мум + Мурв, Мх = Мхм + Мхм + Л/, р„, (2)

М. = Мг т + Мгм + Л/, „„,

Н,Т,5, Мхш,ь4л1нн,мгн, - силы и моменты на несущем винте; Нрв'Тре'Яр,, МхраМу.рвМг^ - силы и моменты на рулевом винте; Хл„Ут,2т, Мхт,Мул„Мгм - силы и моменты, создаваемые планером вертолета.

Составляющие силы тяжести в связанной системе координат находятся с использованием матрицы поворота Эйлера 1{р,9,у].

Управление, потребное для балансировки вертолета, определяется из решения системы уравнений (1). Шесть управляющих воздействий, совпадающих по количеству с числом уравнений системы, являются основными неизвестными системы (1): ф0 — общий шаг лопастей несущего винта; х, П — углы отклонения автомата перекоса; (ррв — угол установки рулевого винта; у — угол крена; 9 — угол тангажа вертолета.

Эти управляющие параметры определяют балансировочное положение вертолета, от которого в свою очередь зависят силы и моменты, действующие на его агрегаты.

Во второй главе обоснован выбор основных гипотез при математическом моделировании лопасти несущего винта. Приведены

уравнения равновесия лопасти с применением теории больших перемещений тонких стержней крыльевого профиля при совместном изгибе в двух плоскостях и кручении,

"и? * ) <К

+ (sin 4 sin С - cos S, sin r| cos С,) • coco;

^cos, + f^ + WJcos11sin, + (cosScos£;-s,„,s1n^inC)-o3n0+ (3) dS I dS " ) + (sin 4 cos С - cos £ sin T| sin C,) ■ to,,,;

sin q-sin ^cosr|-fc)nU + cosacos r|-o;il.

0)- =--1-1 —-+ C0;o

Описана численная методика решения уравнений равновесия. Показан способ формирования интегрирующих матриц на основе «напряженного» сплайна. Положение упругой линии лопасти с учетом .принятой модели определяется при помощи угловых функций £,(г,\|<); г|(г,1у); На

квазиустановившемся режиме они являются периодическими функциями, что позволяет их разложить в ряд Фурье по азимуту (времени):

S» = «ñ + ¿(<4, • cosk\\i + />¿, • sin

А = 1

n„ = a,',1 + ¿(a¡>„ • cosb\i + • sinky (4)

к' I

С, = + ¿ (<4, ■ COS k\\i + bl • sin k\p)

гд- коэффициенты разложения; i|/=o•/ -азимут лопасти; ш - угловая скорость вращения винта; t - время; к - ая гармоника разложения.

При известных величинах коэффициентов разложения можно вычислить прогибы в любой точке лопасти. Скорости и ускорения узловых точек в ннерциальной системе координат запишутся следующим образом:

уп = J \ dr=j ^kw ■ • coskast - a• sin kat)dr;

r" r" 00 t \

xn = j ri dr = J ^¿ш • (¿¿, • cos^m? - • sin Arw/jc/r;

-i, Го*"'

y„ = ^tdr = j^to)2 -(cil, ■ cos tor + • sin ka)t]dr\ n> r0k=1

r" JS. / \

x„ = J r| cfr = J • • cos/гшг + • sin katjdr.

(6)

Соотношения (3-6) позволяют определить все параметры пространственного движения лопасти относительно коэффициентов разложения. За основные неизвестные приняты искомые коэффициенты разложения, которые необходимо найти при решении системы уравнений равновесия лопасти несущего и рулевого винтов вертолета.

Уравнения моментов внешних сил приведены к матрично-алгебраической форме с применением интегрирующих матриц на основе сплайна с растяжением.

Проведен сравнительный анализ и исследована сходимость применяемых методик численного интегрирования по времени (азимуту). Для сравнения результатов, полученных по двум различным методикам, проведены расчеты аэроупрутих характеристик лопастей HB методом временных слоев (метод №1) с шагами по азимуту 45, 22.5 , 11.25, 1 градусов. Для метода с разложением в ряд Фурье (метод №2) достаточно провести расчеты с шагом 45 и 22.5 градусов. Расчеты проведены для несущего винта с шарнирным креплением абсолютно жестких лопастей при скорости воздушного потока 150 км/час и угле установки лопастей на г - 0.7 равным 6°. Остальные управляющие параметры приняты равными нулю. Сравнение результатов проведено для абсолютно жесткой лопасти. В качестве параметра для сравнения выбраны вторые производные угла взмаха

по времени. Результаты расчетов, выполненные с использованием двух различных методов (методом временных слоев и методом разложения в ряд Фурье) показаны на рис. 1

Рис. 1. Сравнительная характеристика сходимости применяемых методик интегрирования

Анализ зависимостей показывает, что результаты расчетов, полученные с применением метода разложения в ряд Фурье при шаге 22.5 градусов, практически совпадают с результатами, полученными по методу временных слоев с шагом по азимуту 1 Расчеты, выполненные по методу №2, практически совпадают.

Параметром, определяющим изменение шага по азимуту в методике №2, является количество учитываемых в расчете гармоник. Поэтому расчеты проведены для следующих случаев: 2 гармоники по азимуту или Д([/ = 72°; 3 гармоники (Ду = 51°); 5 гармоник (Ду = 33°); 10 гармоник (Д*|/ = 17°); 15 гармоник (Ду =11°).

Построена зависимость изгибающих моментов в комле лопасти по азимуту (Рис. 2). Практически все точки, независимо от количества гармоник (шага по азимуту) лежат в области решения и практически образуют единую

линшо. Это позволяет судить о хорошей сходимости решения уравнений равновесия по изгибающим моментам в комле лопасти по числу гармоник разложения в ряд Фурье. А изгибающие моменты являются определяющими параметрами при анализе усталостной прочности лопастей на прочность.

50

Мх, кГм -

45

40

35

О 2

о 3

л 5

\ ■й- 10

О 15

<г

о

ь

rf;

60

Т

120

' I ' ' ' ' ч

300 360

180 240

Рис. 2. Зависимость изгибающих моментов в комле лопасти по азимуту

При использовании такого подхода задачу балансировки вертолета можно решать с предельно малым количеством гармоник по азимуту, что позволяет существенно ускорить определение аэроупругих характеристик несущего винта. Прочностной расчет можно провести на последних шагах уточнения с достаточным количеством гармоник, позволяющих корректно вычислить переменную составляющую изгибающего момента.

Третья глава посвящена расчету внешнего нагружения лопастей несущего винта. Определены массово-инерционные нагрузки на элементе лопасти.

F

= тп\)0 + П0

х U„ + r„ + Q х г; + 2 Q x/-„+Q х

(8)

I—i

л7 = [./]й + [7]п + пх[у]п. (9)

Аэродинамическая нагрузка на лопастях несущего винта в данной работе вычисляется на основе теории элемента лопасти. Теория элемента лопасти основана на допущении, что каждый элемент лопасти винта можно рассматривать как отсек профиля, двигающийся по винтовой линии. Подъемная сила и лобовое сопротивление рассчитываются исходя из результирующей скорости потока, набегающего на этот профиль. Считается, что прилегающие к рассматриваемому отсеку части лопасти не влияют на его аэродинамические характеристики. Тяга и крутящий момент на валу винта вычисляются интегрированием элементарных сил и моментов отдельных элементов лопасти по радиусу.

2

р-111

-Л; (10)

2

р-и1 ,

а ' I 2

= -ь■

2

В четвертой главе проведено сравнение с экспериментальными данными результатов, полученными при численных расчетах балансировки вертолета по двум различным моделям:

пространственная модель балансировки вертолета с пересчетом на каждом шаге аэродинамических сил и моментов на агрегатах вертолета (зависимая аэродинамика);

традиционная модель балансировки вертолета с разделением на продольную и поперечную, без пересчета аэродинамических сил и моментов на агрегатах вертолета (свободная аэродинамика).

-12В качестве проверки работоспособности математической модели пространственной балансировки рассматриваются результаты, полученные для вертолета Ми-6.

Рис. 3. Зависимость угла тангажа вертолета от скорости полета

1 •

е,°

о ■ -х • -2 ■ -3 ■ -4 •

О 50 100 150 200 250 300

Рис. 4. Зависимость продольного циклического шага НВ от скорости полета

Определено влияние упругости лопастей для нескольких моделей заделки лопасти бесшарнирного несущего винта. Оценена корректность моделирования бесшарнирного несущего винта как эквивалентного шарнирного, что в итоге позволило оценить возможность и необходимость комплексного решения задачи балансировки и нагружения несущего винта. Моделирование моментных характеристик торсиона проведено следующими способами: дополнительным выносом горизонтального шарнира (модель №1); сосредоточенной в горизонтальном шарнире жесткостью (модель №2); матрицей податливости торсиона (модель №3).

Выполнены расчеты аэроупругих колебаний лопастей бесшарнирного несущего винта с моделью заделки №3. В качестве исходных данных при этом взяты балансировочные характеристики, полученные при решении задачи батансировки вертолета с абсолютно жесткими лопастями несущего винта и второй вариант с учетом их упругости. Основным"!! параметрами, по которому проводится сравнение, взяты переменные составляющие изгибающего и крутящего момента, действующих на лопасть в полете.

Рис. 5. Переменная составляющая изгибающего момента в комле лопасти по азимуту

Особенности Б-образной деформации торсиона таковы что, если перейти к теории эквивалентного винта, то вынос эквивалентного горизонтального шарнира будет переменным по азимуту. В некоторых точках азимута возможен также отрицательный вынос эквивалентного горизонтального шарнира. Это в итоге приводит к перераспределению переменных составляющих нагрузок, действующих на лопасти несущего винта в полете. При небольшом уменьшении первой гармоники, растет влияние более высоких гармоник (Рис. 5). Такое перераспределение окажет существенное влияние на точность оценки ресурса торсиона. Поэтому традиционный подход при решении задачи нагружения несущей системы вертолета с бесшарнирным несущим винтом является некорректным.

Выводы

1. Разработана комплексная математическая модель пространственной аэроупругой балансировки одновинтового вертолета.

2. Предложена эффективная методика численного интегрирования уравнений движения лопасти по времени (азимуту), использующий способ разложения деформаций лопасти в тригонометрический ряд Фурье.

3. Разработан и отлажен пакет прикладных программ, позволяющий рассчитать балансировочные характеристики вертолета с учетом конструктивных особенностей бесшарнирного несущего винта.

4. Выполнено комплексное исследование влияния упругости лопастей и способов моделирования заделки лопастей бесшарнирного несущего винта на балансировочные характеристики вертолета.

5. Показана возможность и обоснована необходимость комплексного решения задачи аэроупругого расчета несущего винта и пространственной балансировки вертолета с бесшарнирным несущим винтом.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1) А. М. Гнрфанов, С. А. Михайлов, Е.И. Николаев. Математическая модель балансировки вертолета с зависимой аэродинамикой. -Изв.Вузов. Авиационная техника 1998г. №4.

2) Гирфанов A.M., Николаев Е.И. Исследование влияния упругости торсиона на мощность, потребляемую бесшарнирным несущим винтом. Тезисы докладов II Республиканская научная конференция молодых \-ченых и специалистов. Казань - 1996г.

3) Гирфанов A.M. Исследование влияния характеристик упругого бесшарннрного несущего винта на летно-технические характеристики вертолета. Тезисы докладов 4 Всероссийских Туполевских чтений. Казань, КГТУ им. Туполева 1996.

4) Гирфанов A.M., Николаев Е.И., Якубов В.К. Анализ аэродинамических и балансировочных характеристик вертолета с бесшарнирным несушим винтом. Тезисы докладов Всероссийской конференции «Самолетостроение России проблемы и перспективы» г.Самара 1998 г.

5) Гирфанов A.M., Михайлов С.А., Николаев Е.И. Особенности аэроупругой балансировки вертолета классической схемы с бесшарнирным несущим винтом. Материалы IV Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» М.:Издательство «Графос», 1998г.

6) Гирфанов A.M., Михайлов С.А., Николаев Е.И., Хлебников A.A. Особенности математического моделирования задач аэроупругости несущих винтов с упругими элементами торсионного типа из композитных материалов. Сборник трудов. Третий форум Российского вертолетного общества и Юрьевские чтения - Москва, 1998г.

Введение.

1 Математическая модель пространственной балансировки вертолета.

1.1 Общие положения.

1.2 Методика решения задачи балансировки вертолета.

1.3 Силы и моменты на несущем винте вертолета.

1.4 Силы и моменты на рулевом винте.

1.5 Силы и моменты, создаваемые планером вертолета.

1.5.1 Учет влияния индуктивных скоростей на продольный момент фюзеляжа вертолета.

1.5.2 Аэродинамический расчет горизонтального и вертикального оперения вертолета.

2 Аэроупругая модель несущего винта в задаче балансировки вертолета.

2.1 Основные положения и принятые гипотезы.

2.1.1 Системы координат и углы, определяющие положение лопасти.

2.2 Уравнения равновесия лопасти при совместном изгибе в двух плоскостях и кручении.

2.2.1 Уравнения деформации упругой оси лопасти.

2.2.2 Общие уравнения моментов внешних сил. 35 2.2.2.1 Граничные условия на лопасти.

-22.3 Численная методика решения уравнений равновесия лопасти исследование ее сходимости.

2.3.1 Построение интегрирующих матриц на основе "напряженного" сплайна.

2.3.2 Приведение уравнений равновесия к матричной алгебраической форме.

2.3.3 Методика расчета изгибных колебаний с применением разложения деформаций лопасти в ряд Фурье.

2.3.4 Сравнительный анализ и исследование сходимости применяемых методик интегрирования.

2.3.4.1 Сходимость результатов по количеству расчетных точек по азимуту.

2.3.4.2 Сходимость результатов по количеству расчетных точек по длине лопасти.

3 Силы и моменты на несущем винте в общем случае движения вертолета.

3.1 Массово-инерционные нагрузки на элементе лопасти.

3.2 Аэродинамическая нагрузка на несущем винте.

3.2.1 Пересчет характеристик профиля к натурным числам Рейнольдса и Маха.

3.2.2 Индуктивные скорости при полете вперед.

3.3 Составляющие уравнения моментов внешних сил.

3.4 Нагрузка на втулке несущего винта.

4 Численная реализация пространственной модели балансировки вертолета.

4.1 Оценка работоспособности пространственной модели балансировки одновинтового вертолета.

4.2 Анализ результатов применения пространственной модели балансировки для вертолета с упругим бесшарнирным несущим винтом.

4.2.1 Исходные данные. лопастей

4.2.2 Исследование влияния упругости балансировочные характеристики вертолета.

4.2.3 Анализ возможности и необходимости комплексного решения задачи нагружения несущей системы и балансировки вертолета.

Выполнение задач сегодняшнего дня требует от вертолета повышения его потребительских качеств, уменьшения уровня шума, повышения маневренности и, самое главное, удешевление стоимости его эксплуатации. Это возможно при условии совершенствования несущей системы вертолета совместно с широким применением композиционных материалов, увеличивающих ресурс агрегатов. Поэтому в последние десятилетия на новых перспективных вертолетах все чаще стали применяться так называемые «бесшарнирные» несущие и рулевые винты, роль шарниров в которых выполняют специальные упругие элементы. Такие винты имеют больший ресурс по сравнению с обычными несущими винтами с горизонтальным и вертикальным шарнирами. Тем самым удешевляется эксплуатация вертолета, но при этом возрастают начальные затраты на проектирование и изготовление. Поэтому точность прогнозирования нагружения и соответственно оценки ресурса несущей системы вертолета является на сегодняшний день одной из ключевых задач вертолетостроения.

Расчет аэроупругих колебаний и нагрузок, действующих на лопастях несущего винта производится по данным, полученным в результате решения задачи балансировки вертолета, суть которой заключается в определении величины отклонения органов управления и пространственного положения вертолета, при которых выполняется условие равновесия вертолета на установившемся режиме полета. Решить уравнения равновесия вертолета можно только, вычислив нагрузку, действующую на его агрегаты в полете. От того, по какой математической модели и с какой точностью определяется нагрузка на агрегаты вертолета, зависит точность прогнозирования нагружения несущей системы вертолета и его балансировочных характеристик.

Практически все серийно выпускаемые в мире вертолеты построены с классическим шарнирным несущим винтом имеют небольшой разнос горизонтальных шарниров. Такая конструктивная схема вполне соответствовала требованиям своего времени. Соответственно характеристикам шарнирного несущего винта и доступным в то время вычислительным ресурсам были разработаны методы решения задачи балансировки вертолета. Они используются по сей день и стали традиционными [1]. Эти подходы к решению задачи балансировки сводятся к линеаризации зависимости аэродинамической нагрузки, действующей на агрегаты вертолета в полете. Линейный подход к решению задачи балансировки был вполне оправдан, так как колебания лопастей несущего винта классической шарнирной схемы в большей степени определяются взмахом лопасти относительно горизонтального шарнира. С целью упрощения и по аналогии с самолетом было принято разделение балансировки на продольную и поперечную. Учет упругости лопастей вводился только для уточнения нагружения несущей системы вертолета в прочностных расчетах для оценки ресурса агрегатов.

Проблема решения задачи балансировки вертолета сравнительно слабо отражена в открытой печати. Помимо работ опубликованных в открытой печати, в промышленности были разработаны более эффективные методики расчета без традиционного разделения на продольную и поперечную балансировку, учитывающие конструктивные особенности несущих винтов с шарнирным креплением лопастей (наличие демпферов вертикальных шарниров, деформации лопастей и т.д.). Здесь следует отметить диссертацию А.Ю.Лисса, защищенную в 1974 году, где разработан метод корректировки балансировочных характеристик с учетом упругости лопастей.

В современных прогрессивных конструкциях несущего винта доля упругих деформаций в маховых движениях лопастей существенно повышается. Высокие маневренные характеристики вертолета с бесшарнирным винтом подразумевают более жесткую связь между управляющими параметрами и нагрузкой на несущем винте. То есть изменение управляющих параметров винта за очень короткий промежуток времени вызывает изменение по величине и направлению переменных нагрузок. С появлением таких конструкций несущей системы допущения, принятые для шарнирного винта неоправданны. Требуются новые подходы к решению задачи балансировки, аэроупругих колебаний лопастей и, соответственно, в прогнозировании нагрузок, действующих на агрегаты несущей системы вертолета. Необходимо иметь более высокую точность и при определении управляющих параметров, то есть повышаются требования к точности решения задачи балансировки.

В настоящее время теория несущего винта вертолета развита достаточно хорошо, но в то же время существенно опережает возможности ее численной реализации. Численные методы сегодняшнего дня не всегда позволяют получить результаты с необходимой точностью. Экспериментальные методы дорого стоят, хотя и позволяют получить более точные и надежные данные. Поэтому они используются главным образом для проверки и подтверждения расчетов, проектных данных и прочностных характеристик конструкции.

Одна из причин того, что применение численных методов определения переменных составляющих нагружения несущей системы не всегда приводит к желаемым результатам, является несоответствие точности используемых традиционно математических моделей решаемым задачам. В математические модели, используемые для определения нагрузок агрегатов вертолета, при решении задачи балансировки вносят ряд существенных допущений. Тем самым в модель балансировки вертолета заложена погрешность, которая для классических шарнирных винтов была незначительной. Решение же задачи определения переменных при оценке ресурса лопастей требует более точного определения нагрузок. Поэтому в прочностном расчете проводится уточнение нагружения несущей системы вертолета с учетом упругости лопастей и при этом корректировка балансировочных характеристик обычно не проводится. Таким образом, какой бы сложной не была математическая модель несущего винта при определении нагружения для оценки усталостной прочности, допущения, традиционно вводимые, в математическую модель балансировки, не позволят получить результаты с желаемой точностью.

На сегодняшний день теоретическая база для решения задачи аэроупругой балансировки развита достаточно хорошо.

Общие вопросы аэродинамики вертолета в настоящее время в литературе отражены достаточно широко. Первые работы по аэродинамическому и прочностному расчету винтов появились еще в конце девятнадцатого в начале двадцатого веков. Это в основном работы Н.Е. Жуковского, С.К. Джевецкого, Г.Х.Сабинина, Б.Н. Юрьева, В.П.Ветчинкина. Особенно много работ в исследовании аэродинамики и аэроупругости несущих винтов появилось с началом активного применения вертолетов в 50-х годах нашего столетия [1, 2, 3, 4, 5].

Основой аэродинамики несущего винта в горизонтальном полете являются работы Глауэрта и Локка [1, 2], содержащие значительное количество упрощающих допущений, которые пришлось ввести ввиду математической сложности уравнений, описывающих поведение несущего винта в этом режиме полета. Эта теория основана на предположении о линейном распределении индуктивных скоростей по диску несущего винта и может использоваться лишь для приближенной оценки поля индуктивных скоростей.

По мере развития теории и создания летающих винтокрылых аппаратов некоторые из допущений, содержащихся в работах Глауэрта, изучались и заменялись более точными положениями, которые совместно с теорией элемента лопасти позволяют получать надежные результаты. Более точное представление воздушного потока в зоне работы несущего винта вертолета дает вихревая теория [7], но широкое применение этой теории для текущих расчетов затруднено в виду недостаточности быстродействия даже самых современных вычислительных средств.

Достаточно хорошо освещены в литературе также вопросы расчета лопастей на статическую и динамическую прочность [6, 7, 8, 9].

В традиционных методах при расчете лопастей несущих винтов в качестве расчетной схемы принимается тонкий, естественно закрученный стержень с прямолинейной осью жесткости. Упругие перемещения такого стержня под действием нагрузки полагаются малыми, что позволяет исключить нелинейные члены в записи уравнений равновесия. В настоящее время теория тонких стержней, известная как теория Кирхгофа-Клебша, имеет широкое применение при исследовании прочности и устойчивости стрежневых систем.

В общем случае, без предположения малости упругих перемещений, задача расчета деформаций изгиба лопасти в двух плоскостях и кручения является геометрически нелинейной, так как силы в срединной плоскости вызывают не только изгиб, но и кручение. Поэтому при решении задач аэроупругости конечность перемещений скажется на составляющих аэродинамической и инерционной нагрузки. Применение теории больших перемещений до сих пор имеет ограниченный характер, хотя довольно широко используется теория упругой линии двоякой кривизны [10, 11, 12, 13]. Много работ посвящено также исследованию задач статики, динамики и устойчивости авиационных конструкций, базирующихся на стрежневой расчетной схеме. Как правило, в них учитывается конечность перемещений, но в разрешающих уравнениях накладываются ограничения на величину этих перемещений или линеаризуются сами уравнения.

С появлением и быстрым развитием средств вычислительной техники новый подъем происходит и в развитии методов расчета. В середине 60-х годов нашла широкое применение методика расчета деформаций лопасти несущего винта, разработанная A.B. Некрасовым [14, 15]. На основе этой методики была разработана программа для расчета изгиба лопастей в плоскости взмаха и кручения. Деформации лопасти разлагаются по формам собственных изолированных колебаний.

В начале 70-х годов наиболее существенный вклад в развитие методов расчета деформаций лопастей несущих винтов внесли работы А.Ю. Лисса [16, 17, 18]. А.Ю. Лиссом в разложении деформаций применены формы связанных собственных колебаний лопасти с учетом изгиба в двух плоскостях и кручения.

Использование теории больших перемещений в полном объеме при расчете реальных конструкций стало возможным благодаря развитию эффективных численных методов решения задач строительной механики [4], которые позволяют заменить дифференциальное уравнение системой нелинейных алгебраических уравнений, для которых существуют достаточно хорошо разработанные методы численного решения. С появлением этих методик теория больших перемещений тонких стержней получила дальнейшее развитие в работах В.А. Павлова и его учеников и развилась в геометрически нелинейную теорию пространственно-деформированных стержневых конструкций крыльевого профиля. Систему интегро-дифференциальных уравнений аэроупругих колебаний лопасти несущего винта, полученных с использованием геометрически нелинейной теории пространственно-деформированных стержневых конструкций, невозможно решить аналитически в том виде, в каком она была получена. Решение этой системы возможно только численными методами.

Математическое обеспечение, созданное на основе теории пространственно-деформированных стрежней, было успешно применено при решении конкретных задач и моделировании реальных процессов, и при этом были получены достаточно точные результаты, подтвердившиеся на практике. Хорошо разработаны и успешно применяются до настоящего времени методы решения квазистатических задач строительной механики и аэроупругости. К ним можно отнести метод последовательных нагружений при вычислении деформаций и напряженного состояния лопастей несущего и рулевого винтов, полозкового шасси вертолета. Это математическое обеспечение позволяет также моделировать процессы, протяженные во времени. Применение принципа Даламбера позволяет представить инерционную нагрузку в виде внешних сил и моментов и, таким образом, проинтегрировать уравнения равновесия по времени с использованием одного из численных подходов (метод Ньюмарка, метод «временных слоев» и т.д.). Но основным недостатком методов численной реализации нелинейной теории пространственно-деформированных стержневых конструкций применительно к решению задачи аэроупругой балансировки являются большие затраты машинного времени на поиск численного решения. Это связано в основном с условной сходимостью численного решения упругих колебаний лопастей по времени (азимуту). Для решения таких задач нужны более эффективные методы.

Эффективность математической модели аэроупругой балансировки определяется следующими требованиями:

- возможность проведения расчетов по вышеуказанным теоретическим моделям, не упрощая их;

- хорошая сходимость результатов;

- устойчивость методики — это безусловное получение результатов на любом реально возможном режиме полета;

- возможность расчета в режиме реального времени с распараллеливанием вычислительного процесса.

Развитие компьютерной техники за последнее десятилетие привело практически к физическому пределу производительности компьютеров основанных на технологиях сегодняшнего дня. Поэтому развитие компьютерных технологий перешло из качественных изменений в количественные. Пример тому широко распространившиеся компьютерные сети, служащие не только средством обмена информацией, но средством интеграции мощностей электронно-вычислительных машин для решения единой задачи. Применение сетевых технологий позволяет проводить расчеты сложных задач в режиме реального времени. Для этого необходимо чтобы методика решения такой задачи имела возможность ее распараллеливания, то есть одновременного решения разных частей одной задачи.

Таким образом, современные конструктивные решения несущей системы вертолета требуют более строгих подходов к ее математическому моделированию.

В данной работе построен вариант математической модели аэроупругого расчета несущего винта и пространственной балансировки одновинтового вертолета с бесшарнирным несущим винтом.

Моделирование упругих характеристик лопасти в пространстве проводится при помощи геометрически нелинейной теории пространственно-деформированных стержней крыльевого профиля. Применение этой теории позволяет получить систему интегро-дифференциальных уравнений аэроупругих колебаний лопастей несущего винта. Эту систему невозможно решить аналитически в том виде, в каком она была получена. Поэтому для приведения к матричной алгебраической форме применяются интегрирующие матрицы на основе интерполяции «напряженными» сплайнами (сплайн с растяжением). Численное решение полученных алгебраических уравнений осуществляется методом Ньютона.

Интегрирование уравнений движения лопастей несущего винта на установившихся режимах полета вертолета по времени проводится при помощи методики, основанной на использовании разложения изгибных и крутильных колебаний лопасти в тригонометрический ряд Фурье. Идея применения коэффициентов разложения ряда Фурье рассмотрена в работе

19], как один из возможных путей решения уравнений вынужденных колебаний. Но проблема практического применения не была решена. Главная особенность и преимущество данной методики состоит в наперед известной зависимости между прогибами, скоростями и ускорениями расчетных точек на лопасти. Эта особенность позволяет принципиально изменить путь поиска решения по азимуту и избавиться от итераций, связанных с нахождением скоростей и ускорений. Что позволяет на квазистационарных режимах полета существенно сократить время получения аэроупругих характеристик винта и соответственно нагружения несущей системы вертолета в целом, не снижая при этом точности расчета.

Аэродинамическая нагрузка, действующая на планер, моделируется на основе продувок модели вертолета в аэродинамической трубе. Линеаризация результатов продувок не проводится. Аэродинамическая нагрузка на лопастях несущего винта определяется по теории элемента лопасти. Индуктивные скорости на режиме косого обтекания находятся по импульсной теории. Для вычисления неравномерного распределения индуктивных скоростей используются формулы, которые основаны на результатах классической вихревой теории несущего винта [6].

В первой главе предложена пространственная модель решения задачи аэроупругой балансировки одновинтового вертолета. Описаны уравнения равновесия вертолета и аэродинамических нагрузок, действующих на агрегаты вертолета. Показаны особенности и преимущества пространственной модели от традиционного пути решения задачи балансировки с разделением на продольную и поперечную.

Во второй главе обоснован выбор основных гипотез при математическом моделировании лопасти несущего винта. Приведены уравнения равновесия лопасти с применением теории больших перемещений тонких стержней крыльевого профиля при совместном изгибе в двух плоскостях и кручении. Описана численная методика решения уравнения равновесия на основе разложения прогибов лопасти в ряд Фурье и применения интегрирующих матриц на основе сплайна с растяжением. Уравнения равновесия приведены к матрично-алгебраической форме. Исследована сходимость предлагаемой численной методики.

Третья глава посвящена расчету внешнего нагружения лопастей несущего винта. Аэродинамическая нагрузка вычисляется согласно теории элемента лопасти. При вычислении аэродинамических коэффициентов используется поляра профиля лопасти, полученная при круговой обдувке.

В четвертой главе проведено сравнение с экспериментальными данными результатов, полученных при численных расчетах балансировки вертолета по двум различным моделям. Определено влияние упругости лопастей для нескольких моделей заделки лопасти бесшарнирного несущего винта. Оценена корректность моделирования бесшарнирного несущего винта как эквивалентного шарнирного, что в итоге позволило оценить возможность и необходимость комплексного решения задачи балансировки и усталостной прочности несущего винта.

Основные результаты диссертации изложены в научных статьях [20, 21, 22, 23, 24, 25, 26] и докладывались на научно технических конференциях.

При выполнении и оформлении данной работы автор получал множество советов и помощь от многих людей.

Прежде всего хочу поблагодарить моего научного руководителя профессора С. А. Михайлова и научного консультанта к.т.н. Е.И. Николаева, без активного участия и терпения которых не появилась бы эта работа.

-1135 Основные результаты и выводы.

1. Разработана комплексная математическая модель пространственной аэроупругой балансировки одновинтового вертолета.

2. Предложена эффективная методика численного интегрирования уравнений движения лопасти по времени, использующий способ разложения деформаций лопасти в тригонометрический ряд Фурье.

3. Разработан и отлажен пакет прикладных программ, позволяющий рассчитать балансировочные характеристики вертолета с учетом конструктивных особенностей бесшарнирного несущего винта.

4. Выполнено комплексное исследование влияния упругости лопастей и способов моделирования заделки лопастей бесшарнирного несущего винта на балансировочные характеристики вертолета.

5. Показана возможность и обоснована необходимость комплексного решения задачи аэроупругого расчета несущего винта и пространственной балансировки вертолета с бесшарнирным несущим винтом.

1. Гессоу А., Мейерс Г. Аэродинамика вертолета. - М.: Оборонгиз, 1954.-256 с.

2. Пейн П.Р. Динамика и аэродинамика вертолета. М.: Оборонгиз, 1963. -492с.

3. Майкапр Г.И. Вихревая теория несущего винта //Сборник работ по теории воздушных винтов. М.: ЦАГИ, 1956.

4. Вахитов М.Б. Расчет свободных колебаний вращающейся лопасти вертолета с помощью матриц //Изв.вузов. Авиац.техника. 1960. -№2.

5. Вахитов М.Б. Расчет свободных совместных изгибно-крутильных колебаний вращающейся лопасти. //Изв.вузов Авиац.техника. 1963. -№4

6. У.Джонсон. Теория вертолета. М.: Мир, 1983. - Кн.1.

7. У.Джонсон. Теория вертолета. М.: Мир, 1983. - Кн.2.

8. Пейн П.Р. Динамика и аэродинамика вертолета. М.: Оборонгиз, 1963.

9. Брамвелл А.Р.С. Динамика вертолетов. М.: Машиностроение, 1982.

10. Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность, устойчивость колебания. -М.Машиностроение, 1968. Т.1.

11. Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность, устойчивость колебания. -М. Машиностроение, 1968. Т.З.

12. Светлицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей. -М. Машиностроение, 1978.

13. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. М.: Наука, 1978.

14. Некрасов A.B. Расчет напряжений в лопасти несущего винта вертолета на больших скоростях полета //Тр. ЦАГИ. 1964. - Вып. 898.

15. Некрасов A.B. Расчет изгибных напряжений в лопасти вертолета на малых и средних скоростях //Тр.ЦАГИ. 1964. - Вып.913.

16. Лисс А.Ю. Исследования работы лопастей несущего винта с учетом изгиба в двух плоскостях и кручения // Дисс. Доктора технических наук. -Казань, 1974.

17. Лисс А.Ю. Расчет деформаций лопасти воздушного винта в полете //Изв.вузов. Авиац.техника. 1973. -№2.

18. Лисс А.Ю. Учет упругости управления при расчете деформаций лопасти несущего винта //Изв.вузов. Авиац.техника 1974.

19. С.В. Михеев, В.А., Павлов, С.А. Михайлов, Ю.Г. Соковиков, Г.В. Якеменко Динамика и прочность несущего винта. Казань: КАИ 1986.

20. А. М. Гирфанов, С. А. Михайлов, Е.И. Николаев. Математическая модель балансировки вертолета с зависимой аэродинамикой. //Изв.Вузов. Авиац.техника 1998г. №4.

21. Гирфанов A.M., Николаев Е.И. Исследование влияния упругости торсиона на мощность, потребляемую бесшарнирным несущим винтом. Тезисы докладов II Республиканская научная конференция молодых ученых и специалистов. Казань 1996г.

22. Гирфанов A.M. Исследование влияния характеристик упругого бесшарнирного несущего винта на летно-технические характеристики вертолета. Тезисы докладов 4 Всероссийских Туполевских чтений. Казань, КГТУ им. Туполева 1996.

23. Гирфанов A.M., Николаев Е.И., Якубов B.K. Анализ аэродинамических и балансировочных характеристик вертолета с бесшарнирным несущим винтом. Тезисы докладов Всероссийской конференции «Самолетостроение России проблемы и перспективы» г.Самара 1998 г.

24. V.B. Kartashov, S.A. Michylov, E.I. Nikolaev, A.A. Khlebnykov. Mathematical modeling of loading of bearingless main rotor with elastic elements of torsional type. 25th European rotorcraft forum. Rome-Italy September 14-16, 1999.

25. Миль M.JI., Некрасов A.B., Браверман A.C., Гродко JI.H., Лейканд М.А. Вертолеты. Расчет и проектирование, ч.1, Аэродинамика. М.:Машиностроение, 1966.

26. Браверман A.C., Перлштейн Д.М., Лаписова C.B. Балансировка одновинтового вертолета. М. Машиностроение, 1975.

27. Кирхгоф Г. Механика. М.: АН СССР, 1962. - 402с.

28. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М.:Гостехиздат, 1955.-568 с.

29. Павлов В.А. Геометрически нелинейная теория расчета стержней крыльевого профиля //Изв.вузов. Авиац.Техника 1981. №2 - с.44-50.

30. Павлов В.А., Михайлов С.А. Квазистатический расчет лопасти в геометрически нелинейной постановке. Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов: Сб. статей. Казань: КАИ, 1979. С.118-124

31. Павлов В.А., Михайлов С.А. Конечные перемещения нелинейно-деформированного стержня крыльевого профиля. Вопросы конструкции и проектирования самолетов: Сб.статей. Ташкент: ТашГШ, 1981. С.60-69.

32. Михайлов С.А. Геометрическая нелинейность в статике и динамике расчета лопастей несущего винта вертолета //Дисс. . канд.техн.наук. -Казань: КАИ, 1982- 165 с.

33. Гайнутдинов В.Г. Расчет несущих и управляющих поверхностей летательных аппаратов в геометрически нелинейной постановке //Дисс. . канд.техн. наук. Казань, КАИ 1982. -131с.

34. Павлов В.А., Михайлов С.А. О численной реализации задачи нелинейных упругих колебаний лопастей воздушных винтов. Казань, 1983. - 9с. - Рукопись деп. в ВИНИТИ, №447-83.

35. Тлеулинов М.К. Расчет тонкостенного крыла в геометрически нелинейной постановке //Дисс. . канд.техн.наук. Казань, 1986. - 149 с.

36. Вахитов М.Б., Сафариев М.С., Снигирев В.Ф. Расчет крыльевых устройств судов на прочность. Казань: Тат.книжное издательство, 1975.

37. Аоки М. Введение в методы оптимизации. М.: Наука, 1977.

38. Миль М.Л., Некрасов A.B., Браверман A.C., Гродко JI.H., Лейканд М.А. Вертолета-М.: Машиностроение, 1966. Кн.2. 1980.

39. Яцунович М.С. Практическая аэродинамика вертолета Ми-6. М. Транспорт, 1969.

40. Вильгрубе Л.С. Аэродинамические характеристики жесткого несущего винта //Тр. ЦАГИ. 1975. - Вып. 1673.

41. Вождаев Е.С, Теория несущего винта вертикально взлетающего вертолета в осевом потоке // Тр.ЦАГИ. 1970. - Вып. 1234

42. Вождаев Е.С. Теория несущего винта на режимах вихревого кольца //Тр.ЦАГИ 1970. Вып. 1184.

43. Белоцерковский С.М., Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М.: Наука, 1980.

44. Павлов В.А., Михайлов С.А., Николаев Е.И, Расчет характеристик махового движения лопастей несущего винта при нестационарном вращении в косом потоке //Труды вторых научных чтений памяти Б.Н.Юрьева: Сб. Статей. -М., 1988.

45. Павлов В.А., Михайлов С.А. Об изгибно-крутильных колебаниях нагруженных стержней //Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов. Казань: КАИ, 1982.

46. Михайлов С.А. О численной реализации задачи нелинейных упругих колебаний лопастей несущих винтов. Казань, 1983. - 9с. - Рукопись деп. в ВИНИТИ, №447-83.

47. Лурье А.И. Аналитическая Механика. М.: Наука, 1961.

48. Васин В.А., Локтев Б.Е. Метод расчета нестационарных нелинейных аэродинамических характеристик несущего винта вертолета // Научно-методические материалы по аэродинамике ЛА: Сб. статей. М.: ВВИА им. Проф. Н.Е. Жуковского, 1976.

49. Локтев Б.Е., Миргород В.И., Нищт М.И. Расчет аэродинамических характеристик преобразуемого винта вертолета. //Научно-методические материалы по аэродинамике ЛА: Сб. статей. М.: ВВИА им. Проф. Н.Е. Жуковского, 1985.

50. Белоцерковский С.М., Васин В.А., Локтев Б.Е. К построению нестационарной нелинейной теории воздушного винта // Изв. АН СССР, МЖТ. 1979. -№5.

51. Вахитов М.Б., Сафариев М.С., Снегирев В.Ф. Расчет крыльевых устройств на прочность. Казань: Таткнигоиздат, - 1975.

52. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и производстве. М.: Мир, 1982.

53. Альберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. -М.: Мир, 1972.

54. Моисеев Н.И., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. -М.: Наука, 1978.

55. Михайлов С.А. К теории расчета тонких стрежней крыльевого профиля при больших упругих перемещениях // Вопросы прочности тонкостенных авиационных конструкций: Сб. статей. Казань: - Казань: КАИ, 1982.

56. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.Наука, 1978. - 512 с.61.- Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. -М.: Наука 1985.

57. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука, 1966.-660 с.